机器数和码制

各种数据在计算机中的表示称为机器数，其特点是采用二进制计数制，数的符号用0或1表示，小数点则隐含表示而不占位置。机器数对应的实际数值称为数的真值。

机器数有无符号和有符号之分。无符号数表示正数，在机器数中没有符号位只有数值位。有符号数的最高位为符号位，用于表示数值的正负，除最高位以外，其余位为数值位。小数点在机器数最低数值位之后的数为纯整数，小数点在机器数最高数值位之前的数为纯小数。

为了方便运算，有符号的机器数可采用原码、反码、和补码等不同的编码方法，机器数的这些编码方法称为码制。

 

（1）原码表示法

数值X的原码记为[X]原，如果机器字长为n(即采用n个二进制位表示数据)，则最高位位符号位，符号位为‘0’表示正号，符号位为‘1’表示负号，其余的n-1位表示此数值的绝对值。

数值零的原码表示有两种形式：

正零[+0]原=00000000，负零[-0]原=10000000

例：如果机器字长n等于8，则

[+1]原=00000001[-1]原=10000001

[+127]原=01111111[-127]原=11111111

[+66]原=01000010[-66]原=11000010

[+0.5]原=0.1000000[-0.5]原=1.1000000

 

（2）反码表示法

数值X的反码记作[X]反，如果机器字长为n，则最高位是符号位，0表示正号，1表示负号，正数的反码与原码相同，负数的反码则是其绝对值按位取反。数值零的反码表示有两种形式：[+0]反=00000000，[-0]反=11111111。

例：如果机器字长n等于8，则

[+1]反=00000001[-1]反=11111110

[+127]反=01111111[-127]反=10000000

[+66]反=01000010[-66]反=10111101

[+0.5]反=0.1000000[-0.5]反=1.0111111

 

（3）补码表示法

数值X的补码记作[X]补，如果机器字长为n，则最高位为符号位，正数的补码与其原码和反码相同，负数的补码则等于其反码的末尾加1。在补码表示中，0有唯一的编码：[+0]补=00000000,[-0]补=00000000。

例：如果机器字长n等于8，则

[+1]补=00000001[-1]补=11111111

[+127]补=01111111[-127]补=10000001

[+66]补=01000010[-66]补=10111110

[+0.5]补=0.1000000[-0.5]补=1.1000000

 

（4）移码表示法

数值X的移码记作[X]移，移码表示法是在数X上增加一个偏移量来定义的，常用于表示浮点数中的阶码。如果机器字长为n，在偏移2n-1的情况下，只要将补码的符号位取反便可获得相应的移码表示。

例：如果机器字长n等于8，则

[+1]移=10000001[-1]移=01111111

[+127]移=11111111[-127]移=00000001

[+66]移=11000010[-66]移=00111110

[+0.5]移=1.1000000[-0.5]移=0.1000000

[+0]移=10000000[-0]移=00000000

机器数的运算

1、为什么要使用补码？

以整数运算1-1为例子：

码制	1	-1	1+（-1）
原码	0000 0001	1000 0001	1000 0010（-2）
反码	0000 0001	1111 1110	1111 1111（-0）
补码	0000 0001	1111 1111	0000 0000（0）
移码	1000 0001	0111 1111	0000 0000（+0）

 

2、补码加、减法

计算机中为了方便计算，所有数据都是以补码的形式存储的。

① 补码加法的运算规则是：和的补码等于补码求和，即[X+Y]补=[X]补+[Y]补。

② 补码减法的方法是：差的补码等于被减数的补码加上减数取负后的补码。在补码表示中，可将减法运算转换为加法运算，即[X-Y]补=[X]补+[-Y]补。

③ 由[X]补求[-X]补的方法是：[X]补的各位取反（包括符号位），末尾加“1”。

例：设二进制整数X=+1000100，Y=+1110，求X+Y、X-Y的值。

解：设用８位补码表示带符号数据，所以[X]补=01000100，[Y]补=00001110，[-Y]补=11110010。

 

由于X和Y都是正数，所以X+Y的值就等于[X]补+[Y]补，即X+Y=+1010010；由于X的绝对值大于Y的绝对值，所以X-Y的值就等于[X]补+[-Y]补，X-Y=+110110。