C语言-经典算法-完美数

完美数

说明如果有一数n，其真因数（Proper factor）的总和等于n，则称之为完美数（Perfect Number），

例如以下几个数都是完美数：

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

程式基本上不难，第一眼看到时会想到使用回圈求出所有真因数，再进一步求因数和，不过若n

值很大，则此法会花费许多时间在回圈测试上，十分没有效率，例如求小于10000的所有完美数。

解法如何求小于10000的所有完美数？并将程式写的有效率？基本上有三个步骤：

求出一定数目的质数表

利用质数表求指定数的因式分解

利用因式分解求所有真因数和，并检查是否为完美数

步骤一与步骤二在之前讨论过了，问题在步骤三，如何求真因数和？方法很简单，要先知道

将所有真因数和加上该数本身，会等于该数的两倍，例如：

2 * 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28

等式后面可以化为：

2 * 28 = (20 + 21 + 22) * (70 + 71)

所以只要求出因式分解，就可以利用回圈求得等式后面的值，将该值除以2就是真因数和了；等

式后面第一眼看时可能想到使用等比级数公式来解，不过会使用到次方运算，可以在回圈走访

因式分解阵列时，同时计算出等式后面的值，这在下面的实作中可以看到。

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#define N 1000

#define P 10000

int prime(int*); // 求质数表

int factor(int*, int, int*); // 求factor

int fsum(int*, int); // sum ot proper factorint main(void) {

int ptable[N+1] = {0}; // 储存质数表

int fact[N+1] = {0};

// 储存因式分解结果

int count1, count2, i;

count1 = prime(ptable);

for(i = 0; i <= P; i++) {

count2 = factor(ptable, i, fact);

if(i == fsum(fact, count2))

printf("Perfect Number: %d\n", i);

}

printf("\n");

return 0;

}

int prime(int* pNum) {

int i, j;

int prime[N+1];

for(i = 2; i <= N; i++)

prime[i] = 1;

for(i = 2; i*i <= N; i++) {

if(prime[i] == 1) {

for(j = 2*i; j <= N; j++) {

if(j % i == 0)

prime[j] = 0;

}

for(i = 2, j = 0; i < N; i++) {

if(prime[i] == 1)

pNum[j++] = i;

}

return j;}

int factor(int* table, int num, int* frecord) {

int i, k;

for(i = 0, k = 0; table[i] * table[i] <= num;) {

if(num % table[i] == 0) {

frecord[k] = table[i];

k++;

num /= table[i];

}

else

i++;

}

frecord[k] = num;

return k+1;

}

int fsum(int* farr, int c) {

int i, r, s, q;

i = 0;

r = 1;

s = 1;

q = 1;

while(i < c) {

do {

r *= farr[i];

q += r;

i++;

} while(i < c-1 && farr[i-1] == farr[i]);

s *= q;

r = 1;

q = 1;

}

return s / 2;

}

发表于 2021-11-29 15:45
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分类：C/C++开发

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