在初高中数学中，因式分解（又称“分解因式”）是一种重要的代数恒等变形，其核心是将一个多项式表示为几个整式乘积的形式。以下是其严格定义、核心要点及与其他运算的区别：

一、因式分解的定义

定义：

把一个多项式 化成几个整式  的乘积形式，即

其中每个  均为整式，且分解后的整式次数低于原多项式的次数（或为常数）。这种变形过程称为因式分解。

二、常见数域范围

因式分解的结果依赖于所指定的数域（即允许使用的数的范围）：

有理数域：仅允许使用有理数作为系数，例如 （合法），但  不可分解。

实数域：允许使用实数作为系数，例如 。

复数域（高中拓展）：允许使用复数，例如 （) 为虚数单位）。

初中阶段一般默认在有理数域内分解，高中阶段可能扩展到实数域或复数域。

三、学习意义与应用

简化运算：

例如计算  时，因式分解后可约分为 （）。

解方程与不等式：

例如方程  可分解为 ，直接得解  或 。

代数推理基础：

在分式化简、根式运算、函数解析式变形中广泛应用，是高中数学（如数列、导数）的重要工具。

★因式分解是将多项式转化为整式乘积的恒等变形，需遵循“对象为多项式、结果为整式乘积、分解彻底”的原则。

其核心是通过观察多项式结构，选择合适的方法（如提取公因式、公式法、十字相乘法等），体现了“化复杂为简单”的数学思想，是连接代数运算与实际应用的关键纽带。

2 使用 SymPy 进行因式分解

1. 安装与导入

首先安装 SymPy（若未安装）：

pip install sympy

在 Python 脚本中导入所需功能：

from sympy import symbols, factor, factorint, simplify

2. 多项式因式分解

2.1 基本用法

定义符号变量并分解多项式 ：

from sympy import symbols, factor

x = symbols('x')

expr = x**2 - 4  # 定义多项式

factored = factor(expr)  # 分解

print(factored)  # 输出: (x - 2)*(x + 2)

2.2 高次多项式

SymPy 可处理高次多项式：

from sympy import symbols, factor

x = symbols('x')

expr = x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6

factored = factor(expr)

print(factored)  # 输出: (x - 1)*(x - 2)*(x - 3)

2.3 多元多项式

支持多变量分解(二元的因式分解)：

from sympy import symbols, factor

x, y = symbols('x y')

expr = x**2 - y**2

factored = factor(expr)

print(factored)  # 输出: (x - y)*(x + y)

3 无理数域因式分解

对于无理数域的多项式，例如 ，可以使用 extension 参数指定扩展域：**sqrt(2)**：

from sympy import symbols, factor, sqrt

x = symbols('x')

expr = x**2 - 2

factored = factor(expr,extension=sqrt(2))

print(factored)  # 输出: (x - sqrt(2))*(x + sqrt(2))

4 复数域因式分解

若需在复数域分解，指定扩展参数I 代表数学中的虚数单位：

from sympy import symbols, factor, I

x = symbols('x')

expr = x**2 + 1

factored = factor(expr, extension=[I])

print(factored)  # 输出: (x - I)*(x + I)

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